Trigonometría (del griego trigonon «triángulo» + metron «medida»)

¿Quieres aprender Trigonometría? He aquí un breve resumen.
Siga los enlaces para obtener más información, o vaya a Índice de trigonometría

triángulo Trigonometría … se trata de triángulos.

La trigonometría nos ayuda a encontrar ángulos y distancias, y se usa mucho en ciencia, ingeniería, videojuegos y más.

Triángulo en ángulo recto

El triángulo de mayor interés es el triángulo en ángulo recto. El ángulo recto se muestra mediante la pequeña caja en la esquina:

triángulo que muestra Opuesto, Adyacente e Hipotenusa

Otro ángulo a menudo se etiqueta θ, y los tres lados se denominan:

  • Adyacente: adyacente (junto a) el ángulo θ
  • Opuesto: opuesto al ángulo θ
  • y el lado más largo es la Hipotenusa

¿Por qué un Triángulo en ángulo recto?

¿Por qué es tan importante este triángulo?

Imagine que podemos medir a lo largo y hacia arriba, pero queremos saber la distancia y el ángulo directos:

triángulo que muestra Opuesto, Adyacente e Hipotenusa

La trigonometría puede encontrar ese ángulo y distancia faltantes.

O tal vez tengamos una distancia y un ángulo y necesitemos «trazar el punto» a lo largo y hacia arriba:

triángulo que muestra Opuestos, Adyacentes e Hipotenusa

Preguntas como estas son comunes en ingeniería, animación por computadora y más.

Y la trigonometría da las respuestas!

Seno, Coseno y Tangente

Las funciones principales en trigonometría son Seno, Coseno y Tangente

Son simplemente un lado de un triángulo en ángulo recto dividido por otro.

Para cualquier ángulo «θ»:

sin=opuesto/hipotenusa cos=adyacente/hipotenusa tan=opuesto/adyacente

(Seno, Coseno y tangente a menudo se abrevian como sin, cos y tan.)

Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?

triángulo 2.8 4.0 4.9 tiene un ángulo de 35 grados

Usando este triángulo (las longitudes son solo hasta un decimal):

sin(35°) = OppositeHypotenuse = 2.84.9 = 0.57…

El triángulo puede ser más grande, más pequeño o girado, pero ese ángulo siempre tendrá esa relación.

Las calculadoras tienen sin, cos y tan para ayudarnos, así que veamos cómo usarlas:

triángulo de ángulo recto 45 grados, hipotenusa 20

Ejemplo: ¿Qué Altura tiene el Árbol?

No podemos llegar a la parte superior del árbol, por lo que nos alejamos y medimos un ángulo (usando un transportador) y una distancia (usando un láser):

  • Conocemos la Hipotenusa
  • Y queremos saber lo Opuesto

Seno es la relación de Opuesto / Hipotenusa:

sin(45°) = OppositeHypotenuse

calculator-sin-cos-tan

Obtenga una calculadora, escriba «45», luego la tecla «sin»:

sin(45°) = 0.7071…

Qué hace el 0.7071… ¿mala? Es la relación de las longitudes laterales, por lo que lo contrario es aproximadamente 0.7071 veces más larga que la hipotenusa.

ahora podemos poner 0.7071… en lugar de sin (45°):

0,7071… = Hipotenusa opuesta

Y también sabemos que la hipotenusa es 20:

0,7071… = Opuesto a 20

Para resolver, primero multiplique ambos lados por 20:

20 × 0.7071… = Opuesto

Finalmente:

Opuesto = 14,14 m (a 2 decimales)

Cuando adquiera más experiencia, puede hacerlo rápidamente de la siguiente manera:

triángulo de ángulo recto 45 grados, hipotenusa 20

Ejemplo: Cómo ¿Alto es El Árbol?

Comience con:sin (45°) = OppositeHypotenuse
Sabemos:0.7071… = Opposite20
Intercambiar lados: Opposite20 = 0.7071…
Multiplique ambos lados por 20: Opuesto = 0.7071… × 20
Calcular: Opuesto = 14.14 (a 2 decimales)

El árbol mide 14.14 m de altura

Pruebe Sin Cos y Tan

Juegue con esto por un tiempo (mueva el ratón) y familiarícese con los valores de seno, coseno y tangente para diferentes ángulos, como 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

También pruebe 120°, 135°, 180°, 240°, 270° etc, y observe que las posiciones pueden ser positivas o negativas por las reglas de coordenadas cartesianas, por lo que el seno, el coseno y la tangente también cambian entre positivo y negativo.

¡Así que la trigonometría también se trata de círculos!

círculo unitario

Círculo unitario

Con lo que acabas de jugar es el Círculo Unitario.

es un círculo con un radio de 1 con su centro en 0.

Debido a que el radio es 1, podemos medir directamente el seno, el coseno y la tangente.

Aquí vemos la función seno hecha por el círculo unitario:

Nota: puede ver los gráficos bonitos hechos por seno, coseno y tangente.

Grados y Radianes

Los ángulos pueden estar en Grados o Radianes. Estos son algunos ejemplos:

Angle Degrees Radians
right angleRight Angle 90° π/2
__ Straight Angle 180° π
right angle Full Rotation 360°

Patrón de repetición

Debido a que el ángulo gira alrededor y alrededor del círculo, las funciones Seno, Coseno y Tangente se repiten una vez cada rotación completa (consulte Amplitud, Período, Desplazamiento de fase y Frecuencia).

el coseno se repite cada 360 grados

Cuando queremos calcular la función para un ángulo mayor que una rotación completa de 360° (radianes de 2π) restamos tantas rotaciones completas como sea necesario para devolverlo por debajo de 360° (radianes de 2π):

Ejemplo: ¿qué es el coseno de 370°?

370° es mayor que el de 360°, así que vamos a restar 360°

370° − 360° = 10°

cos(370°) = cos(10°) = 0.985 (3 decimales)

Y cuando el ángulo es menor que cero, sólo tiene que añadir giros completos.

Ejemplo: ¿cuál es el seno de -3 radianes?

-3 es menor que 0, así que añadamos 2π radianes

-3 + 2π = -3 + 6.283… = 3.283… radianes

sin(-3) = sin(3.283…) = −0.141 (hasta 3 decimales)

Resolver triángulos

La trigonometría también es útil para triángulos generales, no solo en ángulo recto .

Nos ayuda a Resolver Triángulos. «Resolver» significa encontrar lados y ángulos faltantes.

Ejemplo: Encuentra el ángulo faltante » C «

trig ASA ejemplo

El ángulo C se puede encontrar usando ángulos de un triángulo añadir a 180°:

So C = 180° − 76° − 34° = 70°

También podemos encontrar longitudes laterales faltantes. La regla general es:

Cuando conocemos cualquiera de los 3 lados o ángulos, podemos encontrar los otros 3
(excepto el caso de los tres ángulos)

Ver Resolver Triángulos para más detalles.

Otras funciones (Cotangente, Secante, Cosecante)

Similar a Seno, Coseno y Tangente, hay otras tres funciones trigonométricas que se hacen dividiendo un lado por otro:

triángulo que muestra Opuesto, Adyacente e Hipotenusa

Función Cosecante:
csc(θ) = Hipotenusa / Opuesta
Función secante:
sec(θ) = Hipotenusa / Adyacente
Función Cotangente:
cot(θ) = Adyacente / Opuesto

Identidades trigonométricas y Triangulares

Y a medida que mejore en Trigonometría, puede aprender lo siguiente:

triángulo en ángulo recto

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para todos los triángulos en ángulo recto.

triangle

Las identidades triangulares son ecuaciones que son verdaderas para todos los triángulos (no tienen que tener un ángulo recto).

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