Trigonométrie (du grec trigonon « triangle » + métron « mesure »)

Vous voulez apprendre la trigonométrie? Voici un résumé rapide.
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triangle Trigonométrie… est tout au sujet des triangles.

La trigonométrie nous aide à trouver des angles et des distances, et est beaucoup utilisée en science, en ingénierie, dans les jeux vidéo et plus encore!

Triangle rectangle

Le triangle le plus intéressant est le triangle rectangle. L’angle droit est représenté par la petite boîte dans le coin:

triangle montrant Opposé, Adjacent et Hypoténuse

Un autre angle est souvent étiqueté θ, et les trois côtés sont alors appelés:

  • Adjacent: adjacent (à côté) l’angle θ
  • Opposé: opposé à l’angle θ
  • et le côté le plus long est l’Hypoténuse

Pourquoi un triangle rectangle ?

Pourquoi ce triangle est-il si important ?

Imaginez que nous pouvons mesurer le long et le haut mais que nous voulons connaître la distance et l’angle directs:

triangle montrant Opposé, Adjacent et Hypoténuse

La trigonométrie peut trouver cet angle et cette distance manquants.

Ou peut-être que nous avons une distance et un angle et que nous devons « tracer le point » le long et le haut:

triangle montrant l'opposé, le adjacent et l'hypoténuse

Des questions comme celles-ci sont courantes en ingénierie, en animation par ordinateur et plus encore.

Et la trigonométrie donne les réponses !

Sinus, Cosinus et Tangente

Les fonctions principales en trigonométrie sont Sinus, Cosinus et Tangente

Ils sont simplement un côté d’un triangle rectangle divisé par un autre.

Pour tout angle « θ »:

sin= opposé / hypoténuse cos = adjacent / hypoténuse tan= opposé / adjacent

(Le sinus, le cosinus et la Tangente sont souvent abrégés en sin, cos et tan.)

Exemple : Quel est le sinus de 35° ?

triangle 2.8 4.0 4.9 a un angle de 35 degrés

En utilisant ce triangle (les longueurs ne sont qu’à une décimale):

sin(35°) = OppositeHypotenuse= 2.84.9 = 0.57…

Le triangle peut être plus grand, plus petit ou retourné, mais cet angle aura toujours ce rapport.

Les calculatrices ont sin, cos et tan pour nous aider, alors voyons comment les utiliser:

triangle à angle droit de 45 degrés, hypoténuse de 20

Exemple: Quelle est la hauteur de l’Arbre?

Nous ne pouvons pas atteindre le sommet de l’arbre, nous nous éloignons donc et mesurons un angle (à l’aide d’un rapporteur) et une distance (à l’aide d’un laser):

  • Nous connaissons l’Hypoténuse
  • Et nous voulons connaître le contraire

Le sinus est le rapport Opposé / Hypoténuse:

sin(45 °) = OppositeHypoténuse

calculator-sin-cos-tan

Obtenez une calculatrice, tapez « 45 », puis la touche « sin »:

sin(45°) = 0.7071…

Qu’est-ce que le 0.7071… méchant ? C’est le rapport des longueurs latérales, donc le contraire est d’environ 0.7071 fois plus longtemps que l’hypoténuse.

Nous pouvons maintenant mettre 0,7071… à la place du péché (45°):

0,7071… =Hypoténuse opposée

Et nous savons également que l’hypoténuse est 20:

0,7071… = Opposé 20

Pour résoudre, multipliez d’abord les deux côtés par 20 :

20 × 0,7071… = Ci-contre

Enfin:

Ci-contre = 14,14 m (à 2 décimales)

Lorsque vous gagnez plus d’expérience, vous pouvez le faire rapidement comme ceci:

triangle à angle droit de 45 degrés, hypoténuse de 20

Exemple: Comment L’Arbre est-Il Grand ?

Commencez par:sin(45°) = OppositeHypotenuse
Nous savons: 0.7071… = Opposite20
Permutez les côtés: Opposite20 = 0,7071…
Multipliez les deux côtés par 20 : Opposé = 0,7071… × 20
Calculer: Opposite = 14,14 (à 2 décimales)

L’arbre mesure 14,14 m de haut

Essayez Sin Cos et Tan

Jouez avec cela pendant un moment (déplacez la souris) et familiarisez-vous avec les valeurs de sinus, de cosinus et de tangente pour différents angles, tels que 0°, 30°, 45°, 60° et 90°.

Essayez également 120°, 135°, 180°, 240°, 270° etc., et notez que les positions peuvent être positives ou négatives selon les règles des coordonnées cartésiennes, de sorte que le sinus, le cosinus et la tangente changent également entre positif et négatif.

Donc la trigonométrie, c’est aussi des cercles !

Cercle d'unité

Cercle d’unité

Ce que vous venez de jouer, c’est le Cercle d’unité.

C’est un cercle de rayon 1 avec son centre à 0.

Comme le rayon est 1, nous pouvons mesurer directement le sinus, le cosinus et la tangente.

Ici, nous voyons la fonction sinus réalisée par le cercle unité:

Remarque: vous pouvez voir les jolis graphes réalisés par sinus, cosinus et tangente.

Degrés et Radians

Les angles peuvent être en Degrés ou en Radians. Voici quelques exemples:

Angle Degrees Radians
right angleRight Angle 90° π/2
__ Straight Angle 180° π
right angle Full Rotation 360°

Motif répétitif

Comme l’angle tourne autour du cercle, les fonctions Sinus, Cosinus et Tangentes se répètent une fois chaque rotation complète (voir Amplitude, Période, Déphasage et Fréquence).

le cosinus se répète tous les 360 degrés

Lorsque nous voulons calculer la fonction pour un angle supérieur à une rotation complète de 360 ° (2π radians), nous soustrayons autant de rotations complètes que nécessaire pour la ramener en dessous de 360 ° (2π radians):

Exemple: quel est le cosinus de 370° ?

370° est supérieur à 360° donc soustrayons 360°

370° − 360° = 10°

cos(370 °) = cos(10 °) = 0,985 (à 3 décimales)

Et lorsque l’angle est inférieur à zéro, ajoutez simplement des rotations complètes.

Exemple : quel est le sinus de -3 radians ?

-3 est inférieur à 0, ajoutons donc 2π radians

-3+2π = -3+6,283… = 3.283… radians

sin(-3) =sin(3.283…) = −0.141 (à 3 décimales)

Résolution de triangles

La trigonométrie est également utile pour les triangles généraux, pas seulement pour les triangles rectangulaires.

Cela nous aide à résoudre des Triangles. « Résoudre » signifie trouver les côtés et les angles manquants.

Exemple: Trouver l’angle manquant « C »

exemple de trig ASA

L’angle C peut être trouvé en utilisant les angles d’un triangle ajouter à 180 °:

So C = 180° − 76° − 34° = 70°

Nous pouvons également trouver des longueurs de côté manquantes. La règle générale est:

Lorsque nous connaissons 3 côtés ou angles, nous pouvons trouver les 3 autres
(à l’exception du cas des trois angles)

Voir Résolution des Triangles pour plus de détails.

Autres Fonctions (Cotangente, Sécante, Cosécante)

Similaires au Sinus, au Cosinus et à la Tangente, il existe trois autres fonctions trigonométriques qui sont faites en divisant un côté par un autre:

triangle montrant Opposé, Adjacent et Hypoténuse

Fonction cosécante:
csc(θ) = Hypoténuse / Opposé
Fonction sécante:
sec(θ) = Hypoténuse /Adjacente
Fonction cotangente:
cot(θ) = Adjacente /opposée

Identités trigonométriques et triangulaires

Et à mesure que vous vous améliorez en trigonométrie, vous pouvez apprendre ceci :

triangle rectangle

Les identités trigonométriques sont équations qui sont vraies pour tous les triangles rectangles.

triangle

Les identités de triangle sont des équations qui sont vraies pour tous les triangles (ils n’ont pas besoin d’avoir un angle droit).

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