Trigonometria (dal greco trigonon “triangolo” + metron “misura”)

Vuoi imparare la trigonometria? Ecco un breve riassunto.
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triangolo Trigonometria … è tutto su triangoli.

Trigonometria ci aiuta a trovare angoli e distanze, ed è usato molto in scienza, ingegneria, videogiochi, e molto altro ancora!

Triangolo rettangolo

Il triangolo di maggior interesse è il triangolo rettangolo. L’angolo di destra viene visualizzata una piccola casella nell’angolo:

triangolo mostrando di Fronte, Adiacente e l'Ipotenusa

un Altro angolo, viene spesso etichettato θ, e i tre lati sono quindi chiamati:

  • Adiacenti: adiacente (quasi) l’angolo θ
  • di Fronte: di fronte l’angolo θ
  • e il lato più lungo è l’Ipotenusa

Perché un Triangolo retto?

Perché questo triangolo è così importante?

Immagina di poter misurare lungo e in alto, ma vuoi conoscere la distanza e l’angolo diretti:

triangolo che mostra Opposto, adiacente e ipotenusa

La trigonometria può trovare quell’angolo e la distanza mancanti.

O forse abbiamo una distanza e un angolo e abbiamo bisogno di “tracciare il punto” lungo e in alto:

triangolo che mostra Opposto, adiacente e ipotenusa

Domande come queste sono comuni in ingegneria, animazione al computer e altro ancora.

E la trigonometria dà le risposte!

Seno, Coseno e Tangente

Le funzioni principali in trigonometria sono Seno, Coseno e Tangente

Sono semplicemente un lato di un triangolo rettangolo diviso da un altro.

Per qualsiasi angolo “θ”:

sin=opposto/ipotenusa cos=adiacente/ipotenusa tan=opposto/adiacente

(Seno, coseno e tangente sono spesso abbreviati in sin, cos e tan.)

Esempio: Qual è il seno di 35°?

triangolo 2.8 4.0 4.9 ha un angolo di 35 gradi

Usando questo triangolo (le lunghezze sono solo a una cifra decimale):

sin(35°) = OppositeHypotenuse = 2.84.9 = 0.57…

Il triangolo potrebbe essere più grande, più piccolo o ruotato, ma quell’angolo avrà sempre quel rapporto.

Calcolatrici hanno sin, cos e tan per aiutarci, quindi vediamo come usarli:

triangolo ad angolo retto 45 gradi, ipotenusa 20

Esempio: Quanto è Alto L’Albero?

non Siamo in grado di raggiungere la cima dell’albero, in modo che ci passi di distanza e la misura di un angolo (con un goniometro) e a distanza (mediante laser):

  • conosciamo l’Ipotenusa
  • E vogliamo sapere il Contrario

il Seno è il rapporto di Opposto / Ipotenusa:

sin(45°) = OppositeHypotenuse

calcolatrice-sin-cos-tan

Ottenere una calcolatrice, digitare “45”, poi il “peccato” key:

sin(45°) = 0.7071…

Che cosa fa il 0.7071… cattivo? È il rapporto tra le lunghezze laterali, quindi l’opposto è circa 0.7071 volte più lunga dell’ipotenusa.

Ora possiamo mettere 0.7071… al posto del peccato (45°):

0.7071… = Ipotenusa opposta

E sappiamo anche che l’ipotenusa è 20:

0.7071… = Opposto a 20

Per risolvere, prima moltiplicare entrambi i lati per 20:

20 × 0,7071… = Di fronte

Infine:

di Fronte = 14.14 m (2 decimali)

Quando si guadagna più esperienza, è possibile farlo in fretta come questo:

triangolo ad angolo retto 45 gradi, ipotenusa 20

Esempio: Quanto è Alto L’Albero?

Inizia con:sin (45°) = OppositeHypotenuse
Sappiamo: 0.7071… = Opposite20
Swap lati: Opposite20 = 0.7071…
Moltiplica entrambi i lati per 20: Opposto = 0,7071… × 20
Calcola: Opposite = 14.14 (a 2 decimali)

L’albero è alto 14.14 m

Prova Sin Cos e Tan

Gioca con questo per un po ‘ (sposta il mouse) e familiarizza con i valori di seno, coseno e tangente per diverse angolazioni, come 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Prova anche 120°, 135°, 180°, 240°, 270° ecc, e notare che le posizioni possono essere positive o negative secondo le regole delle coordinate cartesiane, quindi anche il seno, il coseno e la tangente cambiano tra positivo e negativo.

Quindi la trigonometria riguarda anche i cerchi!

cerchio unitario

Cerchio unitario

Quello con cui hai appena giocato è il Cerchio unitario.

È un cerchio con un raggio di 1 con il suo centro a 0.

Poiché il raggio è 1, possiamo misurare direttamente seno, coseno e tangente.

Qui vediamo la funzione seno fatta dal cerchio unitario:

Nota: puoi vedere i bei grafici fatti da seno, coseno e tangente.

Gradi e radianti

Gli angoli possono essere in gradi o radianti. Ecco alcuni esempi:

Angle Degrees Radians
right angleRight Angle 90° π/2
__ Straight Angle 180° π
right angle Full Rotation 360°

Pattern ripetuto

Poiché l’angolo ruota attorno al cerchio, le funzioni Seno, Coseno e tangente si ripetono una volta ogni rotazione completa (vedere Ampiezza, Periodo, sfasoe frequenza).

il coseno si ripete ogni 360 gradi

Quando vogliamo calcolare la funzione per un angolo più grande di una rotazione completa di 360° (2π radianti) sottraiamo tutte le rotazioni complete necessarie per riportarlo al di sotto di 360° (2π radianti):

Esempio: qual è il coseno di 370°?

370 ° è maggiore di 360 ° quindi cerchiamo di sottrarre 360 °

370° − 360° = 10°

cos (370°) = cos(10°) = 0.985 (a 3 cifre decimali)

E quando l’angolo è inferiore a zero, basta aggiungere rotazioni complete.

Esempio: qual è il seno di -3 radianti?

-3 è inferiore a 0 quindi aggiungiamo 2π radianti

-3 + 2π = -3 + 6.283… = 3.283… radianti

sin (-3) = sin(3.283…) = −0.141 (fino a 3 cifre decimali)

Risoluzione dei triangoli

La trigonometria è utile anche per i triangoli generali, non solo quelli ad angolo retto .

Ci aiuta a risolvere i triangoli. “Risolvere” significa trovare lati e angoli mancanti.

Esempio: Trova l’angolo mancante “C”

trig ASA esempio

L’angolo C può essere trovato usando gli angoli di un triangolo aggiungi a 180°:

So C = 180° − 76° − 34° = 70°

Possiamo anche trovare lunghezze laterali mancanti. La regola generale è:

Quando conosciamo 3 lati o angoli possiamo trovare gli altri 3
(ad eccezione del caso dei tre angoli)

Vedi Risolvere i triangoli per maggiori dettagli.

Altre Funzioni (Cotangente, Secante, Cosecante)

Simile al Seno, Coseno e Tangente, ci sono altri tre funzioni trigonometriche, che sono fatte dalla divisione di un lato da un altro:

triangolo mostrando di Fronte, Adiacente e l'Ipotenusa

Funzione Cosecante:
csc(θ) = Ipotenusa / di Fronte
Funzione Secante:
sec(θ) = Ipotenusa / Adiacente
Funzione Cotangente:
culla(θ) = Adiacenti in Fronte

Trigonometriche e Identità di Triangolo

E come si ottiene meglio in Trigonometria si può imparare queste:

ad angolo retto del triangolo

le Identità Trigonometriche sono equazioni che sono vere per tutti triangolo rettangolo.

triangolo

Le identità triangolari sono equazioni che sono vere per tutti i triangoli (non devono avere un angolo retto).

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